第十二讲  极限与导数

一、             本讲进度

   极限与导数复习

二、             本讲主要内容

本章主要内容是极限和导数的概念与运算法则，以及导数在几何、函数等方面的应用。

   （1）极限是本章也是整个微积分的基础概念,它包括数列极限和函数极限，它们都是是在无限变化过程中（n→∞，x→∞或x→x₀）的变化趋势，这一共同点决定了两类极限有类似的运算性质；如果两个数列（或函数）有极限，那么它们的和、差、积、商的极限分别等于这两个数列（或函数）的极限的和、差、积、商（作为除数的数列或函数的极限不能为0）。其原因在于无穷数列{a_n}是定义域为N₊的特殊函数a_n=f(n)，数列的极限 是函数极限 =A的特例。

极限概念及运算性质决定了确定极限的两种方法：一是利用数形结合思想，从量变中认识质变的数学思想方法，即极限方法。利用极限的方法求出了变速直线运动的瞬时速度与曲线上某点的切线方程，并从中抽象出函数的导数概念。导数是一种特殊的函数极限， ，x₀变化时，f’(x₀)就是导函数，二是利用极限的运算法则，可推导出最常用的导数公式与运算法则：c’=0（c为常数），(xⁿ)’=nx^n-1（n∈N₊），[f(x)±g(x)]’=f’(x)±g’(x)，[cf(x)]’=cf’(x)，进一步可以求出所有多项式函数的导数。